Notion de travail d'une force
Des objets soumis à une force peuvent être mis en mouvement, changer d’altitude, de direction, se déformer temporairement ou définitivement, voir leur température s’élever... Les effets des forces peuvent être décrits grâce à la notion de travail.
1./ Travail d’une force constante sur un déplacement rectiligne :
Une force constante conserve les mêmes sens, direction et intensité au cours du temps. Dans un référentiel donné, le travail d’une force constante \( \overrightarrow{F} \) appliquée à un solide qui se déplace de A à B en ligne droite est donné par la formule suivante :
\( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right)=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB}=F\times AB\times \cos\left( \widehat{\overrightarrow{F}, \overrightarrow{AB}} \right)=F\times AB\times \cos\left( \alpha \right) \)
L'opérateur \( \cdot \) dans l'expression \( \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB} \) est le produit scalaire : le produit scalaire, qui sera vu en spécialité Mathématiques est une opération qui agit entre deux vecteurs et dont le résultat est un scalaire, c'est-à-dire un nombre. On le calcule, comme montré dans la suite de la formule, en faisant le produit de la norme du premier vecteur avec la norme du deuxième vecteur, puis en multipliant le résultat par le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.
\( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) est le travail de la force \( \overrightarrow{F} \) lors du déplacement de \( A \) à \( B \). Il s'exprime en J.
\( F \) est l'intensité de la force \( \overrightarrow{F} \), exprimée en N.
\( AB \) est la distance entre les points A et B, exprimée en m.
\( \left( \widehat{\overrightarrow{F}, \overrightarrow{AB}} \right)=\alpha \) est l'angle entre les vecteurs \( \overrightarrow{F} \) et \( \overrightarrow{AB} \), exprimé en degrés ou en radians.
2./ Travail moteur, résistant, ou nul :
\( F \) et \( AB \) étant des nombres positifs, le signe de \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) est celui de \( \cos\left( \alpha \right) \). Le cosinus d'un angle est compris entre -1 et 1, donc le travail d'une force au cours d'un déplacement pourra être positif, négatif ou nul, selon le signe de : \( \cos\left( \alpha \right) \).
- Si l'angle \( \alpha \) < 90°, alors \( \cos\left( \alpha \right) \) > 0 et \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) > 0. La force \( \overrightarrow{F} \) a tendance à contribuer au mouvement : on dit que le travail est moteur.
- Si l'angle \( \alpha \) > 90°, alors \( \cos\left( \alpha \right) \) < 0 et \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) < 0. La force \( \overrightarrow{F} \) s'oppose au mouvement : on dit que le travail est résistant.
- Si l'angle \( \alpha \) = 90°, alors \( \cos\left( \alpha \right) \) = 0 et \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) = 0. La force \( \overrightarrow{F} \) ne travaille pas : une force perpendiculaire à la trajectoire ne fournit aucun travail.
La valeur maximale du travail \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) sera obtenue pour un angle \( \alpha \) = 0°, c'est-à-dire quand la force \( \overrightarrow{F} \) est colinéaire au déplacement et dans le même sens.
La valeur minimale du travail \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) sera obtenue pour un angle \( \alpha \) = 180°, c'est-à-dire quand la force \( \overrightarrow{F} \) est colinéaire au déplacement et dans le sens contraire de celui-ci.
3./ Forces conservatives et forces non conservatives :
Le travail d'une force \( \overrightarrow{F} \) sur un déplacement de \( A \) à \( B \) n'est pas forcément le même selon l'itinéraire utilisé pour aller de \( A \) à \( B \) :
On dit qu'une force est conservative lorsque le travail de cette force sur un déplacement de \( A \) à \( B \) ne dépend pas du chemin suivi pour aller de \( A \) à \( B \). Dans le cas contraire, on dit que la force est non conservative.
4./ Exemple d'une force conservative : le poids d'un objet :
On veut calculer le travail du poids d'un ballon qui se déplace du point \( A \) au point \( B \) :
On a : \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right)=P\times AB\times \cos\left( \alpha \right)=m\times g\times AB\times \cos\left( \alpha \right) \)
On se place alors dans le triangle \( ABH \), rectangle en \( H \). On a : \( \cos\left( \alpha \right)=\frac{AH}{AB}=\frac{z_{A}-z_{B}}{AB} \)
(Attention, \( AH= z_{A}-z_{B} \) car l'axe \( z \) est dirigé vers le haut !)
On peut donc écrire : \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right)=m\times g\times AB\times \frac{z_{A}-z_{B}}{AB} \)
Que l'on peut simplifier de la façon suivante :
\( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right)=m\times g\times \left( z_{A}-z_{B} \right) \)
\( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right) \) est le travail du poids (en J), \( m \) est la masse de l'objet (en kg), \( g \) est l'intensité de la pesanteur (9,81 m·s-2 sur Terre) et \( z \) est l'altitude de l'objet (en m).
On voit dans la formule précédente que le travail du poids ne dépend que des altitudes des points de départ et d'arrivée, et est donc indépendant du chemin suivi : le poids \( \overrightarrow{P} \) est donc une force conservative.
5./ Exemples de forces non conservatives :
Les forces de frottements (frottements solides, frottements fluides) sont des forces non conservatives : le travail d’une force de frottement lors du déplacement d’un objet d’un point A à un point B dépend du chemin suivi pour aller de A à B, ainsi que de la vitesse pour parcourir ce chemin. La force de frottement, lorsqu’elle existe est toujours dirigée suivant le vecteur-vitesse, dans le sens inverse de celui-ci :
L'angle \( \alpha \) entre la force de frottement \( \overrightarrow{f} \) et le déplacement est alors égal à 180° : donc \( \cos\left( \alpha \right) \) = -1 et \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{f} \right)=-f\times AB \).
Energies potentielle, cinétique et mécanique
1./ Energie potentielle :
A toute force conservative \( \overrightarrow{F} \), on peut associer une énergie potentielle \( E_{p} \). Ce n'est pas le cas pour les forces non conservatives.
Lorsqu'un objet soumis à une force conservative \( \overrightarrow{F} \) se déplace d'un point \( A \) à un point \( B \), son énergie potentielle varie de la valeur \( E_{p}\left( A \right) \) à la valeur \( E_{p}\left( B \right) \).
On note \( \Delta E_{p} \) la variation d'énergie potentielle entre les points \( A \) et \( B \). On a :\( \Delta E_{p}=E_{p}\left( B \right)-E_{p}\left( A \right) \)
On a alors :
\( \Delta E_{p}=E_{p}\left( B \right)-E_{p}\left( A \right)=-W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \)
\( \Delta E_{p} \) est la variation d'énergie potentielle (en J), \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F} \right) \) est le travail de la force \( \overrightarrow{F} \) (en J).
2./ Energie potentielle de pesanteur :
Nous n'avons vu qu'une seul force conservative, le poids \( \overrightarrow{P} \). On va donc définir l'énergie potentielle associée, appelée énergie potentielle de pesanteur, et notée \( E_{pp} \).
D'après la relation précédente, on a : \( \Delta E_{pp}=E_{pp}\left( B \right)-E_{pp}\left( A \right)=-W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right) \)
Or : \( W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right)=m\times g\times \left( z_{A}-z_{B} \right) \)
Donc : \( -W_{A\to B}\left( \overrightarrow{P} \right)=-m\times g\times \left( z_{A}-z_{B} \right)=m\times g\times \left( z_{B}-z_{A} \right) \)
On a donc : \( \Delta E_{pp}=E_{pp}\left( B \right)-E_{pp}\left( A \right)=m\times g\times \left( z_{B}-z_{A} \right)=m\times g\times z_{B}-m\times g\times z_{A} \)
Par identification, on trouve que :
\( E_{pp}\left( z \right)=m\times g\times z \)
\( E_{pp}\left( z \right) \) est l'énergie potentielle de pesanteur (en J), \( m \) est la masse de l'objet (en kg), \( g \) est l'intensité de la pesanteur (9,81 m·s-2 sur Terre) et \( z \) est l'altitude de l'objet (en m).
Remarques :
- Les altitudes z des objets dépendent du point de référence choisi (par exemple les altitudes terrestres sont mesurées par rapport au niveau moyen de la mer). L’énergie potentielle de pesanteur dépend donc du point de référence choisi.
- L’énergie potentielle de pesanteur peut être positive, négative ou nulle.
3./ Energie cinétique :
L'énergie cinétique \( E_{c} \) d'un solide indéformable de masse \( m \) est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement. Pour un solide en translation à la vitesse \( v \), on a :
\( E_{c}=\frac{1}{2}\times m\times v^{2} \)
\( E_{c} \) est l'énergie cinétique (en J), \( m \) est la masse de l'objet (en kg), et \( v \) est la vitesse de l'objet (en m·s-1).
Remarque : l'énergie cinétique ne peut pas être négative.
4./ Théorème de l'énergie cinétique :
La variation d'énergie cinétique \( \Delta E_{c} \) d'un solide en translation dans un référentiel galiléen, entre deux positions \( A \) et \( B \), est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre les positions \( A \) et \( B \) :
\( \Delta E_{c}=E_{c}\left( B \right)-E_{c}\left( A \right)=\sum_{}^{}W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F_{ext}} \right) \)
\( \Delta E_{c} \) est la variation d'énergie cinétique (en J), \( \sum_{}^{}W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F_{ext}} \right) \) est la somme des travaux des forces extérieures (en J).
Attention : il faut bien tenir compte de toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur l'objet, qu'elles soient conservatives ou non.
5./ Energie mécanique :
L'énergie mécanique d'un solide est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
\( E_{m}=E_{c}+E_{p} \)
\( E_{m} \) est l'énergie mécanique (en J), \( E_{c} \) est l'énergie cinétique (en J) et \( E_{p} \) est l'énergie potentielle (en J).
Remarque : l'énergie mécanique peut être positive, négative ou nulle.
Etude énergétique d'un mouvement
1./ Système soumis uniquement à des forces conservatives :
Si un système est soumis uniquement à des forces conservatives, alors son énergie mécanique se conserve : elle reste constante au cours du temps. On comprend la raison du qualificatif « conservative ».
On a alors : \( E_{m}=E_{c}+E_{p}=cte \) soit : \( \Delta E_{m}=\Delta E_{c}+\Delta E_{p}=0 \)
On a donc : \( \Delta E_{c}=-\Delta E_{p} \)
Il y a donc un transfert d'énergie : à toute variation de l'énergie potentielle correspond une variation de l’énergie cinétique opposée. Ce transfert est total : il n’y a pas de pertes ni de gain et l’énergie mécanique reste constante.
2./ Système soumis à des forces non conservatives :
Si un système est soumis à des forces non conservatives, alors son énergie mécanique ne se conserve pas : sa variation est égale à la somme des travaux des forces non conservatives.
On a alors : \( \Delta E_{m}=\Delta E_{c}+\Delta E_{p}\neq0 \)
Et : \( \Delta E_{m}=\sum_{}^{}W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F}_{non-conservatives} \right) \)
\( \Delta E_{m} \) est la variation d'énergie mécanique (en J), \( \sum_{}^{}W_{A\to B}\left( \overrightarrow{F}_{non-conservatives} \right) \) est la somme des travaux des forces non conservatives (en J).
La variation de l’énergie cinétique n’est plus opposée à celle de l’énergie potentielle : le transfert d’énergie est alors partiel : il peut y avoir perte (cas d’une force de frottement qui freine un objet en mouvement) ou gain d’énergie (exemple d’une force motrice qui fait accélérer un véhicule). Dans le cas d’une force de frottement, l’énergie mécanique diminue au cours du temps :
Vous pouvez vous entrainer à bien visualiser les échanges d'énergies cinétique et potentielle grâce au Skate Park sur Phet :
Et que Newton soit avec vous !
